Question

（本小題滿分13分）

已知二次函數(shù)同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立．

設(shè)數(shù)列的前項和，

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）數(shù)列中，令，，求；

（3）設(shè)各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)。令（為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；

（2）；

（3）數(shù)列共有個變號數(shù)，即變號數(shù)為。

【解析】

試題分析：（1）∵的解集有且只有一個元素，∴，

當(dāng)時，函數(shù)在上七彩教育網(wǎng)遞增，故不存在，使得不等式成立----------------2分

當(dāng)時，函數(shù)在上七彩教育網(wǎng)遞減，故存在，使得不等式成立。

綜上七彩教育網(wǎng)，得，，∴，

∴  ---------------4分

（2）∵     ∴ 

∴ --------------------8分

（3）解法一：由題設(shè)------------9分

∵時，，

∴時，數(shù)列遞增-------------------10分

∵，由，可知，即時，有且只有個變號數(shù)；

又∵，即，∴此處變號數(shù)有個．

綜上七彩教育網(wǎng)得 數(shù)列共有個變號數(shù)，即變號數(shù)為-----------13分

解法二：由題設(shè)-----------(9分)

時，令；

又∵，∴時也有．

綜上七彩教育網(wǎng)得：數(shù)列共有個變號數(shù)，即變號數(shù)為-----------13分

考點：本題主要考查函數(shù)的概念，等差數(shù)列、等比數(shù)列的的基礎(chǔ)知識，“錯位相消法”，簡單不等式的解法。

點評：中檔題，本題具有較強的綜合性，本解答從處理函數(shù)問題入手，確定得到a的值，從而求得了，進一步轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題的研究。“錯位相消法”是高考常�？嫉綌�(shù)列求和方法。