Question

5．已知圓C過點O（0，0），A（2，4），且圓心在直線x-2y+3=0上
（1）求圓C的方程；
（2）若直線2x+y-m=0與圓c交于M，N兩點，且∠MON=60°，求m的值；
（3）是否存在同時滿足下列兩個條件的直線l：①斜率為-1 ②直線l與圓C相交于E，F(xiàn)兩點，且$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=4？若存在這樣的直線，請求出其方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)圓的方程求出圓心坐標(biāo)，將圓心代入直線x-2y+3=0，將A，O代入圓的方程，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程，求出各個系數(shù)，即得到圓的方程；
（2）根據(jù)圓心角等于圓周角的2倍，通過解半徑、圓心距、及弦長的一半構(gòu)成的直角三角形得到圓心距，根據(jù)點到直線的距離公式，列出參數(shù)m的方程，求出m的值，注意檢驗；
（3）假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)出直線方程，代入圓的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到m，注意檢驗．

解答 解：（1）設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{4+16+2D+4E+F=0}\\{-\frac{D}{2}+E+3=0}\end{array}\right.$，
解得D=-2，E=-4，F(xiàn)=0．
∴圓C的方程為x²+y²-2x-4y=0．
（2）∵∠MON=60°，點O在圓C上，
∴∠MCN=120°，且點C在直線MN下方，
又圓C的圓心為（1，2），半徑為$\sqrt{5}$，
在等腰△MCN中，得點C到直線MN的距離為$\sqrt{5}$cos60°=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即有$\frac{|2+2-m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得m=$\frac{13}{2}$或$\frac{3}{2}$．
經(jīng)檢驗m=$\frac{3}{2}$時，C在直線MN上方，不合題意，舍去．
即有m=$\frac{13}{2}$；
（3）假設(shè)存在同時滿足下列兩個條件的直線l：①斜率為-1，
②直線l與圓C相交于E，F(xiàn)兩點，且$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=4．
設(shè)直線l：y=-x+t，
代入圓x²+y²-2x-4y=0，可得2x²+（2-2t）x+t²-4t=0，
則判別式（2-2t）²-8（t²-4t）＞0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則x₁+x₂=t-1，x₁x₂=$\frac{{t}^{2}-4t}{2}$，
y₁y₂=（t-x₁）（t-x₂）=t²-t（t-1）+$\frac{{t}^{2}-4t}{2}$=$\frac{{t}^{2}-2t}{2}$，
由$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=4，即有x₁x₂+y₁y₂=4，
即為$\frac{{t}^{2}-4t}{2}$+$\frac{{t}^{2}-2t}{2}$=4，
解得t=-1或4，
代入判別式，可得t=-1不成立，
則有t=4．
則存在這樣的直線，且方程為y=-x+4．

點評 本題考查求圓的方程，直線與圓相交問題，考查直線和圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．