Question

已知函數(shù)f（x）=x²-mx-lnx，m∈R
（1）若m=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若m≥1，函數(shù)在f（x）在x=x₀處取得極值，求證：1≤x₀≤m．

Answer 1

分析：（1）將m=2，代入我們易根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=x²-mx-lnx，m∈R，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)值大于等于0，函數(shù)單調(diào)遞增，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若m≥1，函數(shù)在f（x）在x=x₀處取得極值，我們易求出x0=

m+ m2+8

4

，由m≥1，我們易根據(jù)不等式的性質(zhì)得到1≤x₀≤m．

解答：解：（1）當(dāng)m=2時，f（x）=x²-2x-lnx，
定義域為{x|x＞0}（2分）
則h′(x)=2x-

1

x

-2=

2x2-2x-1

x

≥0，（4分）
解得x≥

1+ 3

2

（5分）
所以函數(shù)h（x）的單調(diào)增區(qū)間為[

1+ 3

2

，+∞)（6分）
（2）∵x＞0，f′(x)=2x-m-

1

x

=

2x2-mx-1

x2

=0，等價于：2x²-mx-1=0，
此方程有且只有一個正根為x0=

m+ m2+8

4

，
且當(dāng)x∈（0，x₀）時，h'（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時，h'（x）＞0，
則函數(shù)f（x）=x²-mx-lnx在x=x₀處取得極值．
當(dāng)m≥1時，x0=

m+ m2+8

4

關(guān)于m在[1，+∞）遞增，x0=

m+ m2+8

4

≥

1+ 12+8

4

=1．
要證x₀≤m，即證

m+ m2+8

4

≤m，
也即m+

m2+8

≤4m，

m2+8

≤3m，
∵

m2+8

＞0，3m＞0，
只要m²+8≤9m²，8≤8m²，1≤m²，
只需m≥1，該式顯然成列，所以結(jié)論成立．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．