Question

已知函數(shù)f（x）=

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x³+ax²+b，其中a，b∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線方程是3x+y+2=0，求a、b的值；
（2）若b=

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，且關(guān)于x的方程f（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，得到a，b的方程，解得即可；
（2）由于f（0）=b=

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＞0，關(guān)于x的方程f（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則有f（x）的極小值為負(fù)即可，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可確定極小值點(diǎn)，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

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x³+ax²+b的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²+2ax，
則在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線斜率為：f′（-1）=1-2a，
由于在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線方程是3x+y+2=0，則1-2a=-3，
解得a=2，
又切點(diǎn)為（-1，1），則-

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+2+b=1，
解得b=-

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；
（2）函數(shù)f（x）=

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x³+ax²+b的導(dǎo)數(shù)，
f′（x）=x²+2ax，
由于f（0）=b=

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＞0，
關(guān)于x的方程f（x）=0有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，
則有f（x）的極小值為負(fù)即可．
由f′（x）=x²+2ax=x（x+2a），
則0＜x＜-2a，f′（x）＜0，x＜0或x＞-2a，f′（x）＞0，
則有a＜0，且f（-2a）＜0，
即有a＜0，且

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×（-8a³）+4a³+

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＜0，
解得，a＜-

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．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

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）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程、求極值，考查判斷能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．