Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，，CN=3AN，點(diǎn)M，P，Q分別是AA₁，A₁B₁，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）求直線(xiàn)AB與平面BMC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證明直線(xiàn)PQ∥平面BMN，可在平面BMN中找到一條與PQ平行的直線(xiàn)即可，根據(jù)題目給出的P，Q分別是A₁B₁，BC的中點(diǎn)，想到取AB的中點(diǎn)G，連接PG，QG后分別交BM，BN于點(diǎn)E，F(xiàn)，根據(jù)題目給出的線(xiàn)段的長(zhǎng)及線(xiàn)段之間的關(guān)系證出
，從而得到EF∥PQ，然后利用線(xiàn)面平行的判定即可得證；
（Ⅱ）求直線(xiàn)AB與平面BMC所成角的正弦值，首先是找角，由題意能夠得到平面BMC⊥平面AMQ，所以直接過(guò)A作MQ的垂線(xiàn)
AO，連接BO，在直角三角形AOB中求解∠BAO的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，
取AB中點(diǎn)G，連結(jié)PG，QG分別交BM，BN于點(diǎn)E，F(xiàn)，
則E，F(xiàn)分別為BM，BN的中點(diǎn)．
而，，，．
且CN=3AN，所以 ，
所以．
所以 EF∥PQ，又 EF?平面BMN，PQ?平面BMN．
所以 PQ∥平面BMN；
（Ⅱ）解：連接AQ，∵△ABC是等腰三角形，Q是BC的中點(diǎn)，∴AQ⊥BC，連接MQ，
作AO⊥MQ于O，連接BO，∵M(jìn)A⊥平面ABC，∴MA⊥BC，
又AQ⊥BC，∴BC⊥平面AQM，∴BC⊥AO．
∵AO⊥MQ，∴AO⊥平面BCM，∴∠ABO就是AB與平面ABC所成在角．
在Rt△AQC中，∵∠QAC=60°，∴AQ=2．
在△RtAQM中，∵M(jìn)Q=2，由AM•AQ=MQ•AO，得，
所以．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與平面平行的判定，考查了線(xiàn)面角，證明線(xiàn)面平行時(shí)，常借助于三角形的中位線(xiàn)得線(xiàn)線(xiàn)平行，求線(xiàn)面角時(shí)，關(guān)鍵是把找出的角能夠放在一個(gè)易于求解的三角形當(dāng)中，此題是中檔題．