（2012•泉州模擬）如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側(cè)棱AA1上的動點．
（Ⅰ）當(dāng)AA1=AB=AC時，求證：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時的t值；
（Ⅲ）若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
，試求實數(shù)t的值．
分析：（Ⅰ）證法一：利用線面垂直的判定證明，即證AC1⊥A1C，AB⊥AC1；
證法二：建立空間直角坐標(biāo)系，證明
A1C
⊥
AC1
，
A1C
⊥
AB
；
證法三：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC1的法向量
n
=(0，-1，1)，利用
A1C
=-
n
，證明A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）先判斷P到平面BB1C1C的距離等于點A到平面BB1C1C的距離，利用等體積轉(zhuǎn)化，求出三棱錐P-BCC1的體積，利用導(dǎo)數(shù)的方法，求最大值；
（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC1的法向量
n1
=(0，2t-3，t)，平面BCC1的法向量
n2
=(1，1，0)，利用向量的夾角公式及二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
，可求實數(shù)t的值．
解答：（Ⅰ）證法一：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AA1=AC，∴四邊形AA1C1C是正方形，
∴AC1⊥A1C．…（1分）
∵AB⊥AC，AB⊥AA1，AA1，AC?平面AA1C1C，AA1∩AC=A，
∴AB⊥平面AA1C1C．…（2分）
又∵AC1?平面AA1C1C，∴AB⊥AC1．…（3分）
∵AB，AC1?平面ABC1，AB∩AC1=A，
∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
證法二：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AB⊥AC，∴分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）

則A（0，0，0），C1（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），
∴
A1C
=(0，1，-1)，
AC1
=(0，1，1)，
AB
=(1，0，0)，
∴
A1C
•
AC1
=0，
A1C
•
AB
=0，…（2分）
∴
A1C
⊥
AC1
，
A1C
⊥
AB
．…（3分）
又∵AB，AC1?平面ABC1，AB∩AC1=A∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
證法三：∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．…（1分）

則A（0，0，0），C1（0，1，1），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），
∴
A1C
=(0，1，-1)，
AC1
=(0，1，1)，
AB
=(1，0，0)．
設(shè)平面ABC1的法向量
n
=(x，y，z)，
則
n
•
AC1
=y+z=0
n
•
AB
=x=0
，解得
x=0
y=-z
．
令z=1，則
n
=(0，-1，1)，…（3分）
∵
A1C
=-
n
，∴A1C⊥平面ABC1．…（4分）
（Ⅱ）解：∵AA1∥平面BB1C1C，∴點P到平面BB1C1C的距離等于點A到平面BB1C1C的距離
∴V=VP-BCC1=VA-BCC1=VC1-ABC=
1
6
t2(3-2t)=
1
2
t2-
1
3
t3(0＜t＜
3
2
)，…（5分）
∴V'=-t（t-1），令V'=0，得t=0（舍去）或t=1，
列表，得
（0，1） 1 (1，
3
2
)
V' + 0 -
V 遞增 極大值 遞減
∴當(dāng)t=1時，Vmax=
1
6
．…（8分）
（Ⅲ）解：分別以AB，AC，AA1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0），C1（0，t，3-2t），B（t，0，0），C（0，t，0），A1（0，0，3-2t），
∴
A1C
=(0，t，2t-3)，
AC1
=(0，t，3-2t)，
AB
=(t，0，0)，
CC1
=(0，0，3-2t)，
BC
=(-t，t，0)．…（9分）
　
設(shè)平面ABC1的法向量
n1
=(x1，y1，z1)，
則
n1
•
AC1
=ty1+(3-2t)z1=0
n1
•
AB
=tx1=0
，解得
x1=0
y1=
2t-3
t
z1
，
令z1=t，則
n1
=(0，2t-3，t)．…（10分）
設(shè)平面BCC1的法向量
n2
=(x2，y2，z2)，則
n2
•
BC
=-tx2+ty2=0
n2
•
CC1
=(3-2t)z2=0
．
由于0＜t＜
3
2
，所以解得
x2=y2
z2=0
．
令y2=1，則
n2
=(1，1，0)．…（11分）
設(shè)二面角A-BC1-C的平面角為θ，則有|cosθ|=
|
n1
•
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
|2t-3|
2
•
t2+(2t-3)2
=
10
10
．
化簡得5t2-16t+12=0，解得t=2（舍去）或t=
6
5
．
所以當(dāng)t=
6
5
時，二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
．…（13分）
點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及應(yīng)用意識．
練習(xí)冊系列答案
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12
的下方，求a的取值范圍；
（Ⅲ）記f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．若a=1，試問：在區(qū)間[1，10]上是否存在k（k＜100）個正數(shù)x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f'（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？請證明你的結(jié)論．

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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　　）

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