Question

已知圓C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直線4x－3y－16＝0過橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點，且被圓C所截得的弦長為，點A(3,1)在橢圓E上．

(1)求m的值及橢圓E的方程；

(2)設Q為橢圓E上的一個動點，求·的取值范圍．

 

Answer 1

（1）m＝4 ＋＝1

（2）[－12,0]

【解析】(1)因為直線4x－3y－16＝0被圓C所截得的弦長為，所以圓心C(4，m)到直線4x－3y－16＝0的距離為＝，

即＝，解得m＝4或m＝－4(舍去)．

又直線4x－3y－16＝0過橢圓E的右焦點，所以橢圓E的右焦點F2的坐標為(4,0)，則其左焦點F1的坐標為(－4,0)．

因為橢圓E過A點，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，

所以2a＝5＋＝6，所以a＝3，a2＝18，b2＝2，

故橢圓E的方程為＋＝1．

(2)由(1)知C(4,4)，又A(3,1)，所以＝(1,3)，設Q(x，y)，則＝(x－3，y－1)，則·＝x＋3y－6．令x＋3y＝n，

則由，消去x得18y2－6ny＋n2－18＝0．

因為直線x＋3y＝n與橢圓E有公共點，

所以Δ＝(－6n)2－4×18×(n2－18)≥0，

解得－6≤n≤6，故·＝x＋3y－6的取值范圍為[－12,0]．