Question

【題目】已知橢圓的離心率為，拋物線與橢圓在第一線象限的交點為．

（1）求曲線、的方程；

（2）在拋物線上任取一點，在點處作拋物線的切線，若橢圓上存在兩點關于直線對稱，求點的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）根據離心率可得，再將點分別代入兩個曲線，求得曲線方程；（2）首先設，根據導數的幾何意義求切線的方程，設橢圓上關于l對稱的兩點為，，那么設直線的方程，，轉化為直線與橢圓有交點，并且的中點落在切線上的問題，最后根據，求得的范圍.

解：（1）由已知得：，所以．把代入橢圓，

解得，所以，得橢圓．

把代入拋物線得，

所以拋物線．

（2）設點，拋物線，所以，所以切線.

設橢圓上關于l對稱的兩點為，.

（1）當時，設直線.

代入橢圓得：．

，化簡得.……（*）

，所以MN的中點Q的橫坐標，縱坐標.

要使M，N關于直線l對稱，則點Q在直線l上，即，

化簡得：，代入（*）式解得.

（2）當時，顯然滿足要求.

綜上所述：，所以點P的縱坐標的取值范圍是.