Question

如圖，已知橢圓＝1(2≤m≤5)，過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及其準(zhǔn)線的交點(diǎn)從左到右的順序?yàn)锳、B、C、D，設(shè)f(m)＝||AB|－|CD||．

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2＝m，b2＝m－1，c2＝a2－b2＝1． 　　∴橢圓的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)． 　　故直線的方程為y＝x＋1． 　　又橢圓的準(zhǔn)線方程為x＝±，即x＝±m(xù)． 　　∴A(－m，－m＋1)，D(m，m＋1)．考慮方程組消去y，得(m－1)x2＋m(x＋1)2＝m(m－1)． 　　整理得(2m－1)x2＋2mx＋2m－m2＝0， 　　Δ＝4m2－4(2m－1)(2m－m2)＝8m(m－1)2． 　　∵2≤m≤5， 　　∴Δ＞0恒成立．xB＋xC＝． 　　又∵A、B、C、D都在直線y＝x＋1上， 　　∴|AB|＝|xB－xA|＝＝(xB－xA)·，|CD|＝(xD－xC)． 　　∴||AB|－|CD||＝|xB－xA＋xD－xC|＝|(xB＋xC)－(xA＋xD)|． 　　又∵xA＝－m，xD＝m，∴xA＋xD＝0． 　　∴||AB|－|CD||＝|xB＋xC|· 　　＝||·＝(2≤m≤5)． 　　故f(m)＝，m∈[2，5]． 　　(2)由f(m)＝，可知f(m)＝． 　　又2≤2≤2－， 　　∴f(m)∈[]． 　　故f(m)的最大值為，此時(shí)m＝2； 　　f(m)的最小值為，此時(shí)m＝5．

提示：

本題主要考查利用解析幾何的知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合．要運(yùn)用到直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，韋達(dá)定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值等知識(shí)．第(1)問中，若注意到xa、xD為一對(duì)相反數(shù)，則可迅速將||AB|－|CD||化簡．第(2)問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法，在第(1)問中，要注意驗(yàn)證當(dāng)2≤m≤5時(shí)，直線與橢圓恒有交點(diǎn)．