Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公差 d≠0，且S₃+S₅=50，a₁，a₄，a₁₃成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設{

bn

an

}是首項為1，公比為3的等比數列，求數列{b_n}的通項公式T_n．

Answer 1

分析：（I）根據題意利用等差數列的通項與求和公式，建立關于首項a₁和d的方程組，解出數列{a_n}的首項和公差，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（II）根據等比數列的通項公式，結合（I）的結論算出b_n=（2n+1）•3^n-1，再根據錯位相減法利用等比數列的求和公式，即可算出數列{b_n}的前n項和T_n的表達式．

解答：解：（I）根據題意，可得

3a1+ 3×2 2 d+5a1+ 4×5 2 d=50 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

，

a1=3 d=2

∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1．
（II）

bn

an

=3n-1，bn=an•3n-1=（2n+1）•3^n-1
T_n=3×1+5×3+7×3²+…+（2n+1）•3^n-1，
∴3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）•3^n-1+（2n+1）•3ⁿ，
兩式相減，得-2T_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+6•

1-3n-1

1-3

-（2n+1）•3ⁿ=-2n•3ⁿ，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=n•3ⁿ．

點評：本題給出等差數列滿足的條件，求它的通項公式并依此求另一個數列的前n項和．著重考查了等差數列的通項與求和、等比數列的通項與求和公式和錯位相減法求數列的前n項和等知識，屬于中檔題．