Question

給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)α，使sinα•cosα=1
②函數(shù)y=sin(

3

2

π+x)是偶函數(shù)
③x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5

4

π)的一條對(duì)稱軸方程
④若α、β是第一象限的角，且α＞β，則sinα＞sinβ
其中正確命題的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：對(duì)于①，利用二倍角的正弦公式變形，可得sinα•cosα的最大值為

1

2

；
對(duì)于②，利用誘導(dǎo)公式化簡為y=-cosx，該函數(shù)是偶函數(shù)；
對(duì)于③，把x=

π

8

代入y=sin(2x+

5

4

π)，看y能否取得最值，若能取得最值，命題正確，否則，命題不正確；
對(duì)于④舉反例加以說明．
通過以上分析即可得到正確答案．

解答：解：由sinα•cosα=

1

2

sin2α，∴sinα•cosα的最大值為

1

2

，∴命題①錯(cuò)誤；
由y=sin(

3

2

π+x)=-cosx，而y=-cosx是偶函數(shù)，∴命題②正確；
∵y=sin(2×

π

8

+

5

4

π)=sin

3

2

π=-1，∴x=

π

8

是函數(shù)y=sin(2x+

5

4

π)的一條對(duì)稱軸方程，∴命題③正確；
取α=

13

6

π，β=

π

3

，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＜sinβ，∴命題④錯(cuò)誤．
所以正確的命題是②③．
故答案為②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的被角公式、誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了舉反例法在判斷命題真假中的應(yīng)用，此題是基礎(chǔ)題．