Question

如圖，二面角α-l-β的大小是45°，線(xiàn)段AB?α．B∈l，AB與l所成的角為30°．則AB與平面β所成的角的正弦值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：空間角

分析：過(guò)點(diǎn)A作平面β的垂線(xiàn)，垂足為C，在β內(nèi)過(guò)C作l的垂線(xiàn)，垂足為D，連接AD，由三垂線(xiàn)定理可知AD⊥l，由此得到二面角的平面角及線(xiàn)線(xiàn)角，通過(guò)求解直角三角形求得AB與平面β所成的角的正弦值．

解答： 解：如圖，

過(guò)點(diǎn)A作平面β的垂線(xiàn)，垂足為C，
在β內(nèi)過(guò)C作l的垂線(xiàn)，垂足為D，
連接AD，由三垂線(xiàn)定理可知AD⊥l，
故∠ADC為二面角α-l-β的平面角，為45°，
又由已知，∠ABD=30°
連接CB，則∠ABC為AB與平面β所成的角，
設(shè)AD=2，則AC=

2

，CD=

2

．
AB=4，
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

2

4

．
故答案為：

2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二面角的平面角，考查了線(xiàn)面角，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題．