Question

已知集合A的全體元素為實數，且滿足若a∈A，則

a-1

a+1

∈A．
（1）若a=2，求出A中的所有元素；
（2）0是否為A中的元素？請再舉例一個實數，求出A中的所有元素；
（3）根據（1）、（2），你能得出什么結論？

Answer 1

分析：（1）由已知中若a∈A，則

a-1

a+1

∈A，由a=2∈A，可得

1

3

∈A，再由

1

3

∈A，可得2∈A，進而得到A中的所有元素；
（2）根據已知中若a∈A，則

a-1

a+1

∈A，令0∈A，可得-1∈A，根據此時

a-1

a+1

中分母為0，式子無意義，即可得到結論；
（3）根據已知中若a∈A，則

a-1

a+1

∈A，結合（1）的結論可得

a-1

a+1

∈A，-

1

a

∈A，

1+a

1-a

∈A，而根據（2）的結論，可得要使

a-1

a+1

，-

1

a

，

1+a

1-a

三式均有意義，應有a≠0，a≠±1．

解答：解：（1）a=2時，2∈A，則

2-1

2+1

=

1

3

∈A…（2分）

1

3

∈A，則

1 3 -1

1 3 +1

=-

1

2

∈A；-

1

2

∈A，則

- 1 2 -1

- 1 2 +1

=-3∈A；-3∈A，則

-3-1

-3+1

=2∈A．
∴A中的元素有

1

3

，-3，-

1

2

，2（4分） 
（2）0不是A中的元素，若0∈A，則

0-1

0+1

=-1∈A，-1∈A，則

-1-1

-1+1

無意義．（6分）  
假設3∈A，則-

1

3

∈A，

1

2

∈A，-2∈A．…（8分） 
（3）由（1）、（2）可得到的結論是若實數a∈A（a≠0，a≠±1），則

a-1

a+1

∈A，-

1

a

∈A，

1+a

1-a

∈A．…（12分） 
（未標明a≠0與a≠±1或掉一個扣1分；結論中-

1

a

或

1+a

1-a

掉一個扣1分）

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，其中根據已知中若a∈A，則

a-1

a+1

∈A，將已知條件代入進行遞推是解答本題的關鍵，在（3）的解答中易忽略使

a-1

a+1

，-

1

a

，

1+a

1-a

三式均有意義時，對a的限制，而不能得到滿分．