Question

已知離心率為的橢圓，左、右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），M、N分別是直線上的兩上動點，且的最小值為．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過定點P（m，0）的直線交橢圓于B、E兩點，A為B關于x軸的對稱點（A、P、B不共線），問：直線AE是否會經(jīng)過x軸上一定點，并求AE過橢圓焦點時m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由e=得a=2c，得=4c，利用=0求出點M、N的坐標與c之間的關系，再利用兩點間的距離公式求出|MN|的表達式，進而利用其最小值求出橢圓方程；
（Ⅱ）先把直線PB方程與橢圓方程聯(lián)立，求出B、E兩點坐標之間的等式并表示出直線AE的方程，令y=0得x，看此時求出的x的值是否為定值即可，再利用AE過橢圓焦點即可求m的值．
解答：解：（Ⅰ）由e=得a=2c，于是=4c，
設M（4c，y₁），N（4c，y₂），
因為=0，所以15c²+y₁y₂=0，所以y₁y₂=-15c²＜0，
∴||===≥，
∴=2⇒c=1，a=2，b=．
橢圓方程為=1．
（Ⅱ）設PB方程為y=k（x-m），代入=1
得（4k²+3）x²-8k²mx+（4m²k²-12）=0，
設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則A（x₁，-y₁），
直線AE的方程為y-y₂=（x-x₂），令y=0得x=，
又y₁=k（x₁-m），y₂=k（x₂-m）代入上式得x=，
而x₁+x₂=，代入得x=，
所以AE過軸上定點（，0），
要使AE過橢圓焦點則．
所以m=±4．
點評：本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系以及平面向量，兩點間的距離公式等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力及創(chuàng)新意識．