Question

一個斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為5，若側(cè)棱AA₁和底面三角形的相鄰兩邊都成45°角，求這個三棱柱的體積．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：過點A1作A1O⊥面ABC于O，則O落在△ABC內(nèi)，再過O點分別作OE⊥AB于E、OF⊥AC于F，連結(jié)A1E、A1F，則A1E⊥AE， ∴△AA1E為直角三角形． ∵∠A1AE=45°，AA1=5， ∴AE=A1E=．同理A1F=． ∴A1E=A1F，∴OE=OF， ∴AO是∠BAC的平分線．由△ABC是正三角形知∠EAO=30。． 在Rt△AOE中，AO=,∴A1O=． ∴斜三棱柱ABC—A1B1C1的體積是 V三菱柱=． 點評：本題由于易求棱柱的底面面積，所以求其體積就是求高A1O．因為AA1與AB、AC所成角相等，所以A1的射影一定在∠BAC的平分線上，從而得出∠EA0=30°．然后再根據(jù)AE的值求得AO，由直角三角形A1AO求得高A1O．最后求出棱柱的體積．