Question

在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C(2

2

，

π

4

)，半徑r=2

2

．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若α∈[0，

π

4

]，直線l的參數(shù)方程為

x=3+tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)），直線l交圓C于A、B 兩點，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）先得出圓的直角坐標(biāo)方程，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

化為極坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將

x=3+tcosα y=1+tsinα

，代入C的直角坐標(biāo)方程可得t²+2（cosα-sinα）t-6=0，則△＞0，設(shè)A，B對應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

40-4sin2α

，即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由C(2

2

，

π

4

)得，C直角坐標(biāo)（2，2），
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+（y-2）²=8，
由

x=ρcosθ y=ρsinθ

得，圓C的直角坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ+4sinθ．
（Ⅱ）將

x=3+tcosα y=1+tsinα

，代入C的直角坐標(biāo)方程（x-2）²+（y-2）²=8，
得t²+2（cosα-sinα）t-6=0，則△＞0，
設(shè)A，B對應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=-2（cosα-sinα），t₁t₂=-6，
∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

40-4sin2α

，
∵α∈[0，

π

4

]，∴sin2α∈[0，1]
∴|AB|的取值范圍為[6，2

10

]．

點評：本題考查了圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程的應(yīng)用、弦長公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．