已知
OA
=（1，7），
OB
=（3，1），D為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)M為線段OD上的任意一點(diǎn)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求
MA
•
MB
的取值范圍．
分析：由題意求得 
OD
=
1
2
（
OA
+
OB
）=（2，4），可設(shè)
OM
=λ
OD
=（2λ，4λ），化簡(jiǎn)
MA
•
MB
=（
OA
-
OM
）
•（
OB
-
OM
）為 10（2λ2-4λ+1），再由二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)
MA
•
MB
取值范圍．
解答：解：∵已知
OA
=（1，7），
OB
=（3，1），D為線段AB的中點(diǎn)，∴
OD
=
1
2
（
OA
+
OB
）=（2，4）．
由于M為線段OD上的任意一點(diǎn)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），可設(shè)
OM
=λ
OD
=（2λ，4λ），且0≤λ≤1，
故
MA
•
MB
=（
OA
-
OM
）•（
OB
-
OM
）=（1-2λ，7-4λ）•（3-2λ，1-4λ）=（1-2λ）（3-2λ）
+（7-4λ）（1-4λ）=10（2λ2-4λ+1），
由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)λ=1時(shí)，函數(shù)
MA
•
MB
取得最小值為-10，而且函數(shù)無(wú)最大值，
故
MA
•
MB
的取值范圍為[10，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查另個(gè)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)，是基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
OP
=（2，1），
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），設(shè)X是直線OP上的一點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），那么
XA
•
XB
的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
OP
=（2，1），
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），設(shè)M是直線OP上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求使
MA
•
MB
取最小值時(shí)的
OM
；
（2）對(duì)（1）中的點(diǎn)M，求∠AMB的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

A．如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC，DE交AB于點(diǎn)F．求證：△PDF∽△POC．
B．已知矩陣A=
.
1-2
3-7
.
．
（1）求逆矩陣A-1；
（2）若矩陣X滿足AX=
3
1
，試求矩陣X．
C．坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)O與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1：ρcos（θ+
π
4
）=2
2
與曲線C2：
x=4t2
y=4t
，（t∈R）交于A、B兩點(diǎn)．求證：OA⊥OB．
D．已知x，y，z均為正數(shù)，求證：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知
OA
=（1，7），
OB
=（3，1），D為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)M為線段OD上的任意一點(diǎn)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求
MA
•
MB
的取值范圍．

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