Question

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=

2

，AA′=1，點M、N分別為A′B和B′C′的中點．
（1）證明：MN∥平面A′ACC′；
（2）求三棱錐A′-MNC的體積；
（3）求二面角A′-MC-N的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AB′、AC′，說明三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，推出MN∥AC′，然后證明MN∥平面A′ACC′；
（2）證明A′N⊥平面NBC，利用體積轉(zhuǎn)換法，即可求三棱錐A′-MNC的體積；
（3）建立直角坐標系，求出平面A′MC的法向量、平面MNC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出二面角A′-MC-N的余弦值．

解答： （1）證明：連接AB′、AC′，
由已知∠BAC=90°，AB=AC，三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，
所以M為AB′中點，
又因為N為B′C′的中點，所以MN∥AC′，
又MN?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′；
（2）解：連結(jié)BN，由題意A′N⊥B′C′，
因為平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′，
所以A′N⊥平面NBC．
又A′N=

1

2

B′C′=1，
故V_A′-MNC=V_N-A′MC=

1

2

V_N-A′BC=

1

2

V_A′-NBC=

1

6

；
（3）解：以A為坐標原點，分別以直線AB、AC、AA′為x，y，z軸，建立直角坐標系，如圖，
A（0，0，0），B（

2

，0，0），C（0，

2

，0），A′（0，0，1），B′（

2

，0，1），C′（0，

2

，1）．
所以M（

2

2

，0，

1

2

），
設

m

=（x₁，y₁，z₁）是平面A′MC的法向量，
得

2 2 x1- 1 2 z1=0 2 y1=0

，得

m

=（1，0，

2

），
同理平面MNC的法向量

n

=（-3，-1，

2

），
所以cos＜

m

，

n

＞=

-3+2

3 • 12

=-

1

6

所以二面角A′-MC-N的余弦值為-

1

6

．

點評：本題以三棱柱為載體主要考查空間中的線面平行的判定，借助空間直角坐標系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，難度適中．