已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其右準(zhǔn)線上l上存在點(diǎn)A（點(diǎn)A在x軸上方），使△AF1F2為等腰三角形．
（1）求離心率e的范圍；
（2）若橢圓上的點(diǎn)(1，
2
2
)到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2
2
，求△AF1F2的內(nèi)切圓的方程．
（1）由題意有F1(-c，0)，F2(c，0)，l：x=
a2
c
．（2分）
設(shè)A(
a2
c
，y0)，由△AF1F2為等腰三角形，則只能是F1F2=F2A，又F2A＞
a2
c
-c，
即2c＞
a2
c
-c，所以
3
3
＜e＜1．（6分）
（2）由題意得橢圓的方程為
x2
2
+y2=1，其離心率為
2
2
＞
3
3
，此時F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），l：x=2．
由F1F2=F2A，可得y0=
3
．（10分）
設(shè)內(nèi)切圓的圓心B（x1，y1），AF1：x-
3
y+1=0，BF2：y=-
3
(x-1)，
因?yàn)椤鰽F1F2為等腰三角形，所以△AF1F2的內(nèi)切圓的圓心點(diǎn)B到AF1的距離等于點(diǎn)B到x軸的距離，即
-x1+
3
y1+1
2
=y1，①
由點(diǎn)B在直線BF2上，所以y1=-
3
(x1-1)，②
由①②可得
x1=
3
-1
y1=2
3
-3

所以△AF1F2的內(nèi)切圓的方程為(x+1-
3
)2+(y+3-2
3
)2=(2
3
-3)2．（16分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長軸的一個四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案