Question

【題目】【2017廣東佛山二�！�設(shè)函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）若是上的增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（I）由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，分離常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；（II）將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導(dǎo)數(shù)，對分成兩類，討論函數(shù)的最小值，由此證得，由此證得.

試題解析：

（Ⅰ），是上的增函數(shù)等價于恒成立.

令，得，令（）.以下只需求的最大值.

求導(dǎo)得，

令，，是上的減函數(shù)，

又，故1是的唯一零點，

當(dāng)，，，遞增；當(dāng)，，，遞減；

故當(dāng)時，取得極大值且為最大值，

所以，即的取值范圍是.

（Ⅱ）.

令（），以下證明當(dāng)時，的最小值大于0.

求導(dǎo)得.

①當(dāng)時，，；

②當(dāng)時，，令，

則，又，

取且使，即，則，

因為，故存在唯一零點，

即有唯一的極值點且為極小值點，又，

且，即，故，

因為，故是上的減函數(shù).

所以，所以.

綜上，當(dāng)時，總有.