Question

設(shè)關(guān)于x的方程4^x-2^x+1-b=0（b∈R）
（Ⅰ）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先將原方程變?yōu)閎=4^x-2^x+1，再利用整體思想將2^x看成整體，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）對b進(jìn)行分類討論：①當(dāng)b=-1時(shí)，②當(dāng)b＞-1時(shí)，分別討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，最后綜合①、②，得出結(jié)論即可．

解答：解：（Ⅰ）原方程為b=4^x-2^x+1，
∵4^x-2^x+1=（2^x）²-2×2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
∴當(dāng)b∈[-1，+∞）時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（4分）
（Ⅱ）①當(dāng)b=-1時(shí)，2^x=1，∴方程有唯一解x=0；（6分）
②當(dāng)b＞-1時(shí)，∵(2x-1)2=1+b?2x=1±

1+b

．
∵2x＞0，1+

1+b

＞0，∴2x=1+

1+b

的解為x=log2(1+

1+b

)；--（8分）
令1-

1+b

＞0?

1+b

＜1?-1＜b＜0，
∴當(dāng)-1＜b＜0時(shí)，2x=1-

1+b

的解為x=log2(1-

1+b

)；--（10分）
綜合①、②，得
（1）當(dāng)-1＜b＜0時(shí)原方程有兩解：x=log2(1±

1+b

)；
（2）當(dāng)b≥0或b=-1時(shí)，原方程有唯一解x=log2(1+

1+b

)；（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．解答的關(guān)鍵 是利用函數(shù)與方程的思想方法．