Question

已知定義在區(qū)間[-π，

2

3

π]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對(duì)稱，當(dāng)x∈[-

π

6

，

2

3

π]時(shí)，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的圖象如圖．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表達(dá)式；
（Ⅱ）求方程f（x）=

3

2

的解．

Answer 1

分析：（ I）由圖象可知A=1，依題意解方程組

π 6 ω+φ= π 2 2π 3 ω+φ=π

可求得ω與φ，從而可求得y=f（x）在[-π，

2

3

π]上的表達(dá)式；
（Ⅱ）f（x）=

3

2

，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)先在區(qū)間x∈[-

π

6

，

2π

3

]上求得x的值，再利用y=f（x）關(guān)于x=-

π

6

對(duì)稱，求得x∈[-π，-

π

6

]上求得x的值．

解答：解：（ I）由圖象可知A=1，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

，有

π 6 ω+φ= π 2 2π 3 ω+φ=π

（2分）
解得：

ω=1 φ= π 3

，
所以x∈[-

π

6

，

2π

3

]時(shí)，f（x）=sin（x+

π

3

）．（3分）
由y=f（x）關(guān)于直線x=-

π

6

對(duì)稱，可求的得當(dāng)x∈[-π，-

π

6

]時(shí)，f（x）=-sinx．（5分）
綜上，f（x）=

-sinx，x∈[-π，- π 6 ] sin(x+ π 3 )，x∈(- π 6 ， 2π 3 ]

（6分）
（ II）因?yàn)閒（x）=

3

2

，則在區(qū)間x∈[-

π

6

，

2π

3

]上有：x+

π

3

=

π

3

或x+

π

3

=

2π

3

，（8分）
所以x₁=0，x₂=

π

3

．（10分）
又y=f（x）關(guān)于x=-

π

6

對(duì)稱，
所以x₃=-

π

3

，x₄=-

2π

3

也是方程的解，（11分）
所以方程f（x）=

3

2

的解為x=-

2π

3

，-

π

3

，0，

π

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查直線與正弦曲線的位置關(guān)系，考查對(duì)稱問題，屬于難題．