Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上一個最低點為M(

2π

3

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，

π

12

]，求f（x）的最值；
（3）若函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=

π

12

對稱，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由最低點的坐標求得A=2，根據(jù)周期求出ω，把點的坐標代入解析式求出∅，即得函數(shù)的解析式．
（2）先求出2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，故當2x+

π

6

=

π

6

時，f（x）取得最小值1；f（x）取得最大值

3

．
（3）由題意得 g(x)=f(

π

6

-x)=2cos2x，解2kπ-π≤2x≤2kπ可得x的范圍，即得g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）由最低點為M(

2π

3

，-2) 可得A=2．
由x軸上相鄰的兩個交點之間的距離為

π

2

得

T

2

=

π

2

，即T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
由點M(

2π

3

，-2)在圖象上的2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，即sin(

4π

3

+φ)=-1，
故

4π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z，∴φ=2kπ-

11π

6

，又φ∈(0，

π

2

)，
∴φ=

π

6

，故f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）因為 x∈[0，

π

12

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，所以當2x+

π

6

=

π

6

時，即x=0時，f（x）取得最小值1；當2x+

π

6

=

π

3

，即x=

π

12

時，f(x)取得最大值

3

．
（3）由題意得 g(x)=f(

π

6

-x)=2cos2x，解2kπ-π≤2x≤2kπ，
可得  kπ-

π

2

≤x≤kπ，所以g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

2

，kπ]，k∈Z．

點評：本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性、周期性，求y=Asin（ωx+∅）的解析式，求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間，
是解題的難點．