Question

19．如圖，已知點(diǎn)P是圓O外一點(diǎn)，過(guò)P做圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，過(guò)P做一條割線交圓O于E，F(xiàn)，若2PA=PF，取PF的中點(diǎn)D，連接AD，并延長(zhǎng)交圓于H．
（1）求證：四點(diǎn)O，A，P，B共圓；
（2）求證：PB²=2ED×DF．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB，可得∠OAP+∠OBP=π，即可證明．
（2）由切割線定理可得：PA²=PE•PF，由相交弦定理可得：AD•DH=ED•DF，化簡(jiǎn)利用已知即可證明．

解答 證明：（1）如圖所示，連接OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP+∠OBP=π
∴四點(diǎn)O，A，P，B共圓．
（2）由切割線定理可得：PA²=PE•PF，∵PF=2PA，
∴PA²=PE•2PA，∴PA=2PE，PE=ED=$\frac{1}{2}$PA．
由相交弦定理可得：AD•DH=ED•DF，
∴AD•DH=$\frac{1}{2}P{A}^{2}$，
∵PB=PA，
∴PB²=2ED•DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓、切割線定理、相交弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．