Question

18．設{a_n}（n∈N^*）是等差數(shù)列，且a₅=10，a₁₀=20．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，求數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公差為d，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=10\\{a_1}+9d=20\end{array}\right.$，從而求通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${S_n}=\frac{{n（{2+2n}）}}{2}={n^2}+n$，從而可得$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，從而求數(shù)列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公差為d，
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+4d=10\\{a_1}+9d=20\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ d=2\end{array}\right.$，
∴${a_n}={a_1}+（n-1）d=2n（n∈{N^*}）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${S_n}=\frac{{n（{2+2n}）}}{2}={n^2}+n$，
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{{n^2}+n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式的求法及裂項求和法求前n項和T_n，屬于中檔題．