Question

已知直線l:x=my+1過橢圓=1的右焦點F，且交橢圓于A、B兩點，點A、B在直線g : x=4上的射影為D、E.

（1）若直線l交y軸于點M，且=λ₁,=λ₂,當m變化時，求λ₁+λ₂的值；

（2）連結AE、BD，試探索當m變化時，直線AE、BD是否相交于一點是N？若交于定點N，請求出N點的坐標，并給予證明；否則說明理由.

Answer 1

解：（1）由已知得M(0,),設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由得(3m²+4)y²+6my-6=0.

∴y₁+y₂=,y₁y₂=.

由=λ₁,得(x₁,y₁+)=λ₁(1-x₁,-y₁),

∴y₁+=-λ₁y₁.∴λ₁=-1.同理λ₂=-1.

∴λ₁+λ₂=-2-(+)=-2=-2+=.

（2）當m=0時，A（1，），B（1，），D（4，），E（4，）.

∵ABED為矩形，∴N（,0).

當m≠0時,D(4,y₁),E(4,y₂),∵=(-x₁,-y₁),=(,y₂),

由(-x₁)y₂+y₁=(-my₁-1)y₂+y₁=(y₁+y₂)-my₁y₂=+=0.

∴∥，即A、N、E三點共線.

同理可證，B、N、D三點共線.綜上，對任意m，直線AE、BD相交于定點N(,0).