Question

已知函數(shù)y=g（x）的圖象與f(x)=x+

1

x

的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱(chēng)．
（1）求y=g（x）的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)F(x)=g(x)+

a

x

（a∈R），若對(duì)任意x∈（0，2]，F(xiàn)（x）≥8恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)g（x）上任意一點(diǎn) （x，y ） 關(guān)于 A（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 （x'，y'）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式，根據(jù)點(diǎn)（x'，y'）在函數(shù)f（x）的圖象上，代入函數(shù)f（x）解析式，即可求出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）要使F(x)=g(x)+

a

x

=2+x+

1

x

+

a

x

≥8對(duì)任意x∈（0，2]恒成立，可轉(zhuǎn)化成a≥-x²+6x-1對(duì)任意x∈（0，2]恒成立
即a≥（-x²+6x-1）max，從而求出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)g（x）上任意一點(diǎn)（x，y ） 關(guān)于 A（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 （x'，y'），
則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

x+x′

2

=0，

y+y′

2

=1
整理得x'=-x，y'=2-y
而點(diǎn)（x'，y'）在f（x）的圖象上，
代入函數(shù)f(x)=x+

1

x

得f（x'）=f（-x）=-x-

1

x

=2-g（x）
整理得g（x）=2+x+

1

x

（2）F(x)=g(x)+

a

x

=2+x+

1

x

+

a

x

≥8對(duì)任意x∈（0，2]恒成立
∴a≥-x²+6x-1對(duì)任意x∈（0，2]恒成立
即a≥（-x²+6x-1）max=-4+12-1=7
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[7，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求函數(shù)解析式，同時(shí)考查了分離法的運(yùn)用，屬于中檔題．