已知{xn}是公差為d(d>0)的等差數(shù)列,
.
x
n
表示{xn}
的前n項(xiàng)的平均數(shù).
(1)證明數(shù)列{
.
x
n
}
也是等差數(shù)列,并指出公差;
(2)記{xn}的前n項(xiàng)和為Sn,{
.
x
n
}
的前n項(xiàng)和為Tn,數(shù)列{
1
S n+1-Tn+1
}
的前n項(xiàng)和為Un,求證:Un
4
d
分析:(1)由
.
x
n
表示{xn}
的前n項(xiàng)的平均數(shù),知
.
xn
=
x1+x2+…+xn
n
,由數(shù)列的性質(zhì)知
.
xn
=
Sn
n
,整理得
.
xn
=x1+(n-1)•
d
2
,所以{
.
xn
}是以x1為首項(xiàng),以
d
2
為公差的等差數(shù)列.
(2)由Sn=nx1+
n(n-1)
2
•d
,知Tn=n x1+
n(n-1)
2
d
2
,所以Sn-Tn=
n(n-1)
4
d
,由此能夠證明Un
4
d
解答:證明:(1)∵
.
xn
=
x1+x2+…+xn
n

=
Sn
n

=
nx1+
n(n-1)
2
d
n

=x1+(n-1)•
d
2
,
∴{
.
xn
}是以x1為首項(xiàng),以
d
2
為公差的等差數(shù)列.
(2)∵Sn=nx1+
n(n-1)
2
•d
,
Tn=n x1+
n(n-1)
2
d
2
,
Sn-Tn=
n(n-1)
4
d
,
1
Sn+1-Tn+1
=  
4
d
1
n(n+1)

=
4
d
•( 
1
n
-
1
n+1
)
,
Un=
4
d
[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
1
4
)+…+
(
1
n
-
1
n+1
)]

=
4
d
(1-
1
n+1
)<
4
d
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列的證明和前n項(xiàng)和的求法,是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意算術(shù)平均數(shù)的應(yīng)用.
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精英家教網(wǎng)已知{xn}是公差為d的等差數(shù)列,
.
x
n
表示{xn}的前n項(xiàng)的平均數(shù).
(1)證明數(shù)列{
.
x
n
}
是等差數(shù)列,指出公差.
(2)設(shè){xn}的前n項(xiàng)和為Sn,{
.
x
n
}
的前n項(xiàng)和為Tn{
1
Sn+1-Tn+1
}
的前n項(xiàng)和為Un.若d≠0,求
lim
n→∞
Un

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(2)當(dāng)0<a<1時(shí),求(x1+x2+…+xn);

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已知{xn}是公差為d(d>0)的等差數(shù)列,的前n項(xiàng)的平均數(shù).
(1)證明數(shù)列也是等差數(shù)列,并指出公差;
(2)記{xn}的前n項(xiàng)和為Sn的前n項(xiàng)和為的前n項(xiàng)和為Un,求證:

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已知{xn}是公差為d的等差數(shù)列,表示{xn}的前n項(xiàng)的平均數(shù).
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列,指出公差.
(2)設(shè){xn}的前n項(xiàng)和為Sn,的前n項(xiàng)和為Tn的前n項(xiàng)和為Un.若d≠0,求

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