如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E-AM-D的余弦值為
5
5
．
考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的性質(zhì),與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）先證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM；
（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)
DE
=λ
DB
，求出平面AMD、平面AME的一個法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角E-AM-D的余弦值為
5
5
，即可得出結(jié)論．
解答： （1）證明：∵長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點，
∴AM=BM=
2
，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM；
（2）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)
DE
=λ
DB
，

則平面AMD的一個法向量
n
=(0，1，0)，
ME
=
MD
+λ
DB
=(
2
2
-
2
2
λ，
2
2
λ，
2
2
-
2
2
λ)，
AM
=(-
2
，0，0)
設(shè)平面AME的一個法向量為
m
=(x，y，z)，
2
x=0
2
λy+
2
2
(1-λ)z=0

取y=1，得x=0，y=1，z=
2λ
1-λ
，所以
m
=(0，1，
2λ
1-λ
)，
因為cos?
m
，
n
＞=
m
•
n
|
m
|•|n|
=
5
5

求得λ=
1
2
，所以E為BD的中點．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，正確運用面面垂直的性質(zhì)，掌握線面垂直的判定方法，正確運用向量法是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2+ax+7-a
x+1
，a∈R．若對于任意的x∈N*，f（x）≥4恒成立，則a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A，B，C是單位圓O上任意的不同三點，若
OA
=2
OB
+x
OC
，則正實數(shù)x的取值范圍為（　�。�
A、（0，2]
B、[1，3]
C、[2，4]
D、[3，5]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓具有如下性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上的任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，則kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．試寫出雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）具有的類似的性質(zhì)，并加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，AB⊥BC，AB=BC=AA1=3，線段AC、A1B上分別有一點E、F，且滿足2AE=EC，2BF=FA1．
（1）求證：平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1；
（2）求二面角F-BE-C的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的空間幾何體中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD與△ACB是邊長為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分線上．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=
1
2
AD．梯形ABCD所在平面外有一點P，滿足PA⊥平面ABCD，PA=AB．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出E的位置并證明；若不存在請說明理由；
【理】（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分別為BD、PD的中點，EA=EB=AB=1，PA=2．
（Ⅰ）證明：PB∥面AEF；
（Ⅱ）求面PBD與面AEF所成銳角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=ax+a-x（x∈[-1，1]），g（x）=ax2-2ax+4-a（x∈[-1，1]）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）若對于任意x1∈[-1，1]，總存在x0∈[-1，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍；
（3）若對于任意x0∈[-1，1]，任意x1∈[-1，1]，都有g(shù)（x0）≥f（x1）恒成立，求a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案