Question

2．“光盤行動(dòng)”倡導(dǎo)厲行節(jié)約，反對(duì)鋪張浪費(fèi)，帶動(dòng)大家珍惜糧食，吃光盤子中的食物，得到從中央到民眾的支持，為了解某地響應(yīng)“光盤行動(dòng)”的實(shí)際情況，某校幾位同學(xué)組成研究性學(xué)習(xí)小組，從某社區(qū)[25，55]歲的人群中隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

組數(shù)	分組	頻數(shù)	頻率	“光盤族”占本組比例
第1組	[25，30）	50	0.05	30%
第2組	[30，35）	100	0.10	30%
第3組	[35，40）	150	0.15	40%
第4組	[40，45）	200	0.20	50%
第5組	[45，50）	a	b	65%
第6組	[50，55）	200	0.20	60%

（Ⅰ）求a，b的值，并估計(jì)本社區(qū)[25，55]歲的人群中“光盤族”所占比例；
（Ⅱ）從年齡段在[35，40）與[40，45）的“光盤族”中，采用分層抽樣方法抽取8人參加節(jié)約糧食宣傳活動(dòng)，并從這8人中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)．
（i）已知選取2人中1人來(lái)自[35，40）中的前提下，求另一人來(lái)自年齡段[40，45）中的概率；
（ii）求2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和的期望值（每個(gè)年齡段以中間值計(jì)算）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)表先求出n的值，由此求出a和b，從而能求出樣本中的“光盤族”人數(shù)．
（Ⅱ）（�。┯浭录嗀為“其中1人來(lái)自年齡段[35，40）”，事件B為“另一人來(lái)自年齡段[40，45）”，由條件概率公式能求出選取2人中1人來(lái)自[35，40）中的前提下，求另一人來(lái)自年齡段[40，45）中的概率．
（ⅱ）設(shè)2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ的取值為75，80，85，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和的期望值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得n=$\frac{50}{0.05}$=1000，
b=1-（0.20+0.20+0.15+0.10+0.05）=0.30，
a=1000×0.30=300
樣本中的“光盤族”人數(shù)為：
50×30%+100×30%+150×40%+200×50%+300×65%+200×60%=520，
樣本中“光盤族”所占比例為$\frac{520}{1000}×100%=52%$．…（4分）
（Ⅱ）（�。┯浭录嗀為“其中1人來(lái)自年齡段[35，40）”，事件B為“另一人來(lái)自年齡段[40，45）”，
所以概率為P（B/A）=$\frac{P（AB）}{P（A）}$=$\frac{\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}}{\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}}$=$\frac{5}{6}$．…（8分）
（ⅱ）設(shè)2名領(lǐng)隊(duì)的年齡之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ的取值為75，80，85，
P（ξ=75）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}=\frac{3}{28}$，
P（ξ=80）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{28}$，
P（ξ=85）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{5}{14}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	75	80	85
P	$\frac{3}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{14}$

所以Eξ=75×$\frac{3}{28}$+80×$\frac{15}{28}$+85×$\frac{5}{14}$=81.25．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意分層抽樣、排列組合等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．