Question

20．設圓C的極坐標方程為ρ=2，以極點為直角坐標系的原點，極軸為x軸正半軸，兩坐標系長度單位一致，建立平面直角坐標系．過圓C上的一點M（m，s）作垂直于x軸的直線l：x=m，設l與x軸交于點N，向量$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）設點R（1，0），求$|{\overrightarrow{RQ}}|$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得N是坐標（m，0），設出Q（x，y），由$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得到M的坐標與Q坐標的關系，然后利用M在ρ=2上求得動點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）寫出Q的參數(shù)方程，利用兩點間的距離公式得到$|{\overrightarrow{RQ}}|$，然后利用配方法求最值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得N是坐標（m，0），
設Q（x，y），由$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=2m}\\{y=s}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{x}{2}}\\{s=y}\end{array}\right.$，
∵點M在圓ρ=2上，即在m²+s²=4上，
∴$\frac{x^2}{4}+{y^2}=4$，
∴Q是軌跡方程為 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）Q點的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=4cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，
∴$|{\overrightarrow{RQ}}|=\sqrt{{{（4cosθ-1）}^2}+4{{sin}^2}θ}=\sqrt{12{{cos}^2}θ-8cosθ+5}=\sqrt{12{{（cosθ-\frac{1}{3}）}^2}+\frac{11}{3}}$
$≥\sqrt{\frac{11}{3}}=\frac{{\sqrt{33}}}{3}$．
則$|{\overrightarrow{RQ}}|$的最小值為$\frac{{\sqrt{33}}}{3}$．

點評 本題考查簡單曲線的極坐標方程，訓練了利用代入法求動點的軌跡方程，訓練了利用配方法求最值，是中檔題．