Question

(2006安徽，22)如圖所示，F為雙曲線的右焦點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知四邊形OFPM為平行四邊形，．

(1)寫出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式；

(2)當(dāng)λ=1時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=12，求此時(shí)的雙曲線方程．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設(shè)為PM與雙曲線右準(zhǔn)線的交點(diǎn)，F(c，0)，則|PM|=|OF|=c，|OM|=|PF|=λc． ∵， ， ∴．即． (2)當(dāng)λ=1時(shí)，由，解得e=2， 從而c=2a，． 由此得雙曲線的方程是． 下面確定a的值． 設(shè)雙曲線左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為N，P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 ， ． 由于在雙曲線的右支上，且位于x軸上方，因而 ， ． 所以直線OP的斜率為． 設(shè)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線與雙曲線的交點(diǎn)為，則直線AB的斜率為，直線AB的方程為． 將其代入雙曲線方程整理得 ． ∵，， =12a． 由|AB|=12得a=1．于是，所求雙曲線的方程為．