已知二次函數(shù)y=g(x)的圖象經(jīng)過（0，0）、（m，0）、（m+1,m+1）三個不同的點(diǎn).

（1）求y=g(x)的解析式；

（2）設(shè)F(x)=(x-n)·g(x)(m＞n＞0)，如果b＜a，且當(dāng)x=a和x=b時，F(x)取得極值，求證：0＜b＜n＜a＜m.

（1）解：∵y=g(x)經(jīng)過點(diǎn)（0，0）、（m,0),可設(shè)g(x)=tx(x-m),                                  ?

又y=g(x)經(jīng)過點(diǎn)（m+1,m+1),∴m+1=t(m+1)(m+1-m).∴t=1.∴g(x)=x2-mx.             ?

（2）證明：由（1）得g(x)=x2-mx.?

∴f(x)=(x-n)·g(x)=(x-n)(x2-mx)=x3-(m+n)x2+mnx(m＞n＞0).?

∴f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn.                                                                                        ?

∵f(x)在x=a和x=b(b＜a)處取到極值，?

∴x=a和x=b為方程f′(x)=0的兩根.?

又∵f′(0)=mn＞0,f′(n)=n(n-m)＜0,f′(m)=m(m-n)＞0,且b＜a,0＜n＜m，f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為3，且3＞0，?

∴n、m分別在區(qū)間（b,a）,（a,+∞）內(nèi)，且0在（-∞，b）內(nèi).                         ?

∴0＜b＜n＜a＜m.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）．設(shè)f(x)=
g(x)
x
．
（1）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為
2
，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)y=f（x）-kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）．設(shè)f（x）=
g(x)
x
．若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為
2
，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•惠州模擬）已知二次函數(shù)y=g（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）、A（m，0）與點(diǎn)P（m+1，m+1），設(shè)函數(shù)f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b處取到極值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次項(xiàng)系數(shù)k的值；
（2）比較a，b，m，n的大小（要求按從小到大排列）；
（3）若m+n≤2，且過原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f（x）均相切，求y=f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為m-1（m≠0），且y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，設(shè)f（x）=
g(x)
x
．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，-2）的距離的最小值為
2
，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0有三個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為m-1（m≠0），且y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，設(shè)f(x)=
g(x)
x
．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，-2）的距離的最小值為
2
，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f（2x）-k•2x=0在x∈[-1，1]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍．

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