Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，則b+c的取值范圍是

(-∞，-

15

2

]

．

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在x∈[-1，2]上恒成立列出關(guān)于b，c的不等式組，然后利用線性規(guī)劃知識求得b+c的取值范圍．

解答：解：由f（x）=x³+bx²+cx+d，
則f′（x）=3x²+2bx+c．
要使函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的區(qū)間[-1，2]上是減函數(shù)，
則f′（x）=3x²+2bx+c≤0在x∈[-1，2]上恒成立．
所以

f′(-1)≤0 f′(2)≤0

，即

3×(-1)2-2b+c≤0 3×22+4b+c≤0

．
也就是

2b-c≥3 4b+c≤-12

．
以b為橫軸，c為縱軸畫出可行域如圖，
聯(lián)立

2b-c=3 4b+c=-12

，解得

b=- 3 2 c=-6

．
所以可行域上頂點為(-

3

2

，-6)．
則b+c的最大值為-

3

2

-6=-

15

2

．
故b+c的取值范圍是（-∞，-

15

2

]．
故答案為（-∞，-

15

2

]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系，訓(xùn)練了利用線性規(guī)劃知識求最值，是中檔題．