Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁B₁B為正方形，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C．
（I）求證：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
（II）若AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁體積．

Answer 1

分析：（I）證AB垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，再由線面垂直⇒面面垂直；
（II）先求得三棱錐B₁-ABC的體積，再利用棱柱是由三個(gè)體積相等的三棱錐組合而成來(lái)求解．

解答：解：（Ⅰ）證明：由側(cè)面AA₁B₁B為正方形，知AB⊥BB₁．
又∵AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又∵AB?平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥BB₁C₁C．
（Ⅱ）由題意，CB=CB₁，設(shè)O是BB₁的中點(diǎn)，連接CO，則CO⊥BB₁．
由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB₁B₁A，且CO=

3

2

BC=

3

2

AB=

3

．
連接AB₁，則VC-ABB1=

1

3

S△ABB1•CO=

1

6

×AB²•CO=

2 3

3

．
∵VB1-ABC=VC-AA1B1=VC-A1B1C1=

1

3

VABC-A1B1C1=

2 3

3

，
∴V_三棱柱=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的判定及空間幾何體的體積．