Question

橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，焦距為2c，若直線y=

3

(x+c)與橢圓交于M點(diǎn)，滿足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，則離心率是（　�。�

• A．

  2

  2

• B．

  3

  -1
• C．

  3 -1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：依題意知，直線y=

3

（x+c）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁（-c，0），且傾斜角為60°，從而知∠MF₂F₁=30°，設(shè)|MF₁|=x，利用橢圓的定義即可求得其離心率．

解答：解：∵橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），作圖如右圖：
∵橢圓的焦距為2c，
∴直線y=

3

（x+c）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁（-c，0），又直線y=

3

（x+c）與橢圓交于M點(diǎn)，
∴傾斜角∠MF₁F₂=60°，又∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁，
∴∠MF₂F₁=30°，
∴∠F₁MF₂=90°．
設(shè)|MF₁|=x，則|MF₂|=

3

x，|F₁F₂|=2c=2x，故x=c．
∴|MF₁|+|MF₂|=（

3

+1）x=（

3

+1）c，
又|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴2a=（

3

+1）c，
∴該橢圓的離心率e=

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查直線與橢圓的位置關(guān)系，突出橢圓定義的考查，理解得到直線y=

3

（x+c）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁（-c，0）是關(guān)鍵，屬于中檔題．