Question

已知函數(shù)g（x）=ax²-4ax+b（a＞0）在區(qū)間[0，1]上有最大值1和最小值-2．設(shè)f（x）=

g(x)

x

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-2，2]上有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到方程組從而求出a，b的值；
（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為k≤1+(

1

2x

)2-4•（

1

2x

），令t=

1

2x

，則1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

)=t²-4t+1，令h（t）=t²-4t+1，t∈[

1

4

，4]，從而得到答案．

解答： 解：（Ⅰ）由題知g（x）=a（x-2）²-4a+b，
∵a＞0，∴g（x）在[0，1]上是減函數(shù)，∴

g(0)=1 g(1)=-2

，解得 

a=1 b=1

；
（Ⅱ）由于f（2^x）-k•2^x≥0，則有2^x+

1

2x

-4-k•2^x≥0，
整理得k≤1+(

1

2x

)2-4•（

1

2x

），
令t=

1

2x

，則1+(

1

2x

)2-4•(

1

2x

)=t²-4t+1，
∵x∈[-2，2]，∴t∈[

1

4

，4]，
令h（t）=t²-4t+1，t∈[

1

4

，4]，
則h（t）∈[-3，1]．
∵k≤h（t）有解∴k≤1
故符合條件的實數(shù)k的取值范圍為（-∞，1]．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了求函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．