Question

14．已知圓C：x²+y²-2x-2ay+a²-24=0（a∈R）的圓心在直線2x-y=0上．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求圓C與直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）相交弦長的最小值．

Answer 1

分析 （1）化簡圓的方程，求出圓的圓心坐標，代入直線方程，即可求實數(shù)a的值；
（2）求出直線系（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）經過的定點，利用圓心距，半徑半弦長滿足勾股定理，求解相交弦長的最小值．

解答 解：（1）圓C的方程可化為（x-1）²+（y-a）²=25，
將圓心坐標（1，a）代入直線方程2x-y=0中，
得a=2（4分）
（2）∵直線l的方程可化為（2x+y-7）m+（x+y-4）=0（m∈R）．
∴l(xiāng)恒過的交點M（3，1）．（7分）
由圓的性質可知，當l⊥CM時，弦長最短．
又|CM|=$\sqrt{（3-1）2+（1-2）2}$=$\sqrt{5}$，
∴弦長為l=2$\sqrt{r2-|CM|2}$=2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．（10分）

點評 本題考查圓的方程的應用，考查直線與圓的位置關系，考查計算能力．