Question

(滿分14分）設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時(shí),(其中不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)試討論關(guān)于x的方程:在區(qū)間[0,2]上的根的個(gè)數(shù).

Answer 1

(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為.
(2)時(shí),不等式恒成立.
(3)時(shí),方程無解;
或時(shí),方程有唯一解;
時(shí),方程有兩個(gè)不等的解.

(1)直接利用導(dǎo)數(shù)大（小）于零，求其單調(diào)增（減）區(qū)間即可.
(2)利用導(dǎo)數(shù)求f(x)的最大值，則.
(3)即
然后令,再利用導(dǎo)數(shù)確定g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值，畫出草圖，觀察直線y=a在什么范圍變化時(shí)，它與y=g(x)有不同的交點(diǎn).
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823230552022538.png" style="vertical-align:middle;" />.      ……… 1分
由得;  ……… 2分                    
由得,       ………3分
則增區(qū)間為,減區(qū)間為.      ………4分
(2)令得,
由(1)知在上遞減,在上遞增,  ………6分
由,且,     ……… 8分
時(shí), 的最大值為,
故時(shí),不等式恒成立.  ………9分
(3)方程即.記,則
.由得;由得.
所以在上遞減;在上遞增.
而,   ………10分
所以,當(dāng)時(shí),方程無解;
當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解;
當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)解;
當(dāng)時(shí),方程有一個(gè)解;
當(dāng)時(shí),方程無解.               ………13分
綜上所述,時(shí),方程無解;
或時(shí),方程有唯一解;
時(shí),方程有兩個(gè)不等的解.     ………14分