Question

給出下列五個命題：
①函數y=f（x），x∈R的圖象與直線x=a可能有兩個不同的交點；
②函數y=log₂x²與函數y=2log₂x是相等函數；
③對于指數函數y=2^x與冪函數y=x²，總存在x₀，當x＞x₀ 時，有2^x＞x²成立；
④對于函數y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，則f（x）在（a，b）內有零點．
⑤已知x₁是方程x+lgx=5的根，x₂是方程x+10^x=5的根，則x₁+x₂=5．
其中正確的序號是

③⑤

．

Answer 1

分析：①函數表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關系，根據定義進行判定即可判斷；②根據函數的定義域進行判定即可；③總存在x₀=4，當x＞4 時，有2^x＞x²成立；④缺少條件“函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)”；⑤第一個方程：lgx=5-x．第二個方程，10^x=5-x，lg（5-x）=x．注意第二個方程，如果做變量代換y=5-x，則lgy=5-y，其實是與第一個方程一樣的．那么，如果x₁，x₂是兩個方程的解，則必有x₁=5-x₂，也就是說，x₁+x₂=5．

解答：解：對于①函數表示每個輸入值對應唯一輸出值的一種對應關系，根據定義進行判定即可判斷①錯；
對于②函數y=log₂x²與函數y=2log₂x的定義域不等，故不是相等函數，故②錯；
對于③當x₀取大于等于4的值都可使當x＞x₀ 時，有2^x＞x²成立，故③正確；
對于④函數y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，才有若有f（a）•f（b）＜0，則f（x）在（a，b）內有零點．故④錯
對于⑤：∵x+lgx=5，∴l(xiāng)gx=5-x．∵x+10^x=5，∴10^x=5-x，
∴l(xiāng)g（5-x）=x．如果做變量代換y=5-x，則lgy=5-y，
∵x₁是方程x+lgx=5的根，x₂是方程x+10^x=5的根，
∴x₁=5-x₂，∴x₁+x₂=5．故正確
故答案為：③⑤

點評：此題是個中檔題，考查函數圖象和零點問題，以及函數概念和構成要素等基礎知識，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力．