Question

某項實驗研究需要一種高標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品，對這種產(chǎn)品要檢測A、B兩項技術(shù)指標(biāo)，各項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響，若有且僅有一項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，至少一項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，按要求只有兩項技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的產(chǎn)品才能用于該實驗（稱為合格品），
（Ⅰ）設(shè)A、B兩項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為p₁、p₂，求一件產(chǎn)品經(jīng)過檢測為合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若進(jìn)行該項實驗需要這種產(chǎn)品100個，為保證實驗的順利進(jìn)行，則至少要購進(jìn)多少件這樣的產(chǎn)品？

Answer 1

解：（Ⅰ）∵有且僅有一項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為
∴有…①
又至少一項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為
∴有…②
聯(lián)立①、②得
解得：
∴一件產(chǎn)品經(jīng)過檢測為合格品的概率為
（Ⅱ）設(shè)需要購進(jìn)的產(chǎn)品數(shù)為n，且n個產(chǎn)品中合格品的個數(shù)為ξ，
依題意知，
∴，
為保證實驗的順利進(jìn)行，則Eξ≥100，
即，解得：n≥200，
故至少需要購進(jìn)這種產(chǎn)品200件．
分析：（Ⅰ）有且僅有一項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，故有，又至少一項技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，故有．由此能求出一件產(chǎn)品經(jīng)過檢測為合格品的概率．
（Ⅱ）設(shè)需要購進(jìn)的產(chǎn)品數(shù)為n，且n個產(chǎn)品中合格品的個數(shù)為ξ，依題意知，所以，為保證實驗的順利進(jìn)行，則Eξ≥100．由此能求出至少需要購進(jìn)這種產(chǎn)品的件數(shù)．
點評：本題考查概率的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，考查學(xué)生探究研究問題的能力，解題時要認(rèn)真審題，理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．本題對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．