Question

【題目】

已知函數為自然對數的底數）

（1）求的單調區(qū)間，若有最值，請求出最值；

（2）是否存在正常數，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線？若存在，求出的值，以及公共點坐標和公切線方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)所以當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，最小值為，無最大值 ；

(Ⅱ)存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，易求得公共點坐標為，公切線方程為．

【解析】

解：（1）……61分

①當恒成立

上是增函數，F只有一個單調遞增區(qū)間（0，-∞），沒有最值…3分

②當時，，

若，則上單調遞減；

若，則上單調遞增，

時，有極小值，也是最小值，

即…………6分

所以當時，的單調遞減區(qū)間為

單調遞增區(qū)間為，最小值為，無最大值…………7分

（2）方法一，若與的圖象有且只有一個公共點，

則方程有且只有一解，所以函數有且只有一個零點…………8分

由（1）的結論可知…………10分

此時，

的圖象的唯一公共點坐標為

又

的圖象在點處有共同的切線，

其方程為，即…………13分

綜上所述，存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該點處的公切線方程為…………14分

方法二：設圖象的公共點坐標為，

根據題意得

高考資源網

即由②得，代入①得

從而…………10分

此時由（1）可知

時，

因此除外，再沒有其它，使…………13分

故存在，使的圖象有且只有一個公共點，且在該公共點處有共同的切線，易求得公共點坐標為，公切線方程為…………14分