Question

已知方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0有一個(gè)根小于-1，其余三個(gè)根都大于-1，則m的取值范圍是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：將方程mx⁴-（m-3）x²+3m=0轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，換元設(shè)t=x²，則對(duì)應(yīng)函數(shù)為g（t）=mt²-（m-3）t+3m，然后利用二次函數(shù)根的分布，確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：由題意知m≠0，設(shè)函數(shù)f（x）=mx⁴-（m-3）x²+3m，為偶函數(shù)．
因?yàn)榉匠逃?個(gè)根小于-1，其余3個(gè)根都大于-1，
所以方程一個(gè)根小于-1，對(duì)應(yīng)的另一個(gè)根大于1，兩外兩個(gè)根一個(gè)在（-1，0）之間，一個(gè)在（0，1）之間．
設(shè)t=x²，則對(duì)應(yīng)函數(shù)為g（t）=mt²-（m-3）t+3m，對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根t大于1，兩外一個(gè)根t∈（0，1）．
若m＞0，則

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

3m＞0  m-(m-3)+3m＜0

，
解得

m＞0  m＜-1

，此時(shí)不等式組無(wú)解．
若m＜0，則

g(0)＜0  g(1)＞0

，即

3m＜0 m-(m-3)+3m＞0

，
解得

m＜0 m＞-1

，此時(shí)解得-1＜m＜0．
綜上可知，m的取值范圍是（-1，0）．
故答案為：（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及一元二次方程根的分布問(wèn)題．利用換元法將四次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵．