Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點(diǎn)．若該三角形的面積的最大值為，則實(shí)數(shù)a的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1，（k≠0）．將直線(xiàn)AB方程與橢圓消去y，解得B的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)之間距離公式，可以算出AB長(zhǎng)關(guān)于a、k的表達(dá)式，同理可得AC長(zhǎng)關(guān)于a、k的表達(dá)式，從而得到Rt△ABC的面積S關(guān)于a、k的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式進(jìn)行討論，可得△ABC的面積S的最大值為，最后結(jié)合題意解關(guān)于a的方程，即可得到實(shí)數(shù)a的值．
解答：解：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=kx+1則直線(xiàn)AC的方程可設(shè)為y=-x+1，（k≠0）
由消去y，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0，所以x=0或x=
∵A的坐標(biāo)（0，1），
∴B的坐標(biāo)為（，k•+1），即B（，）
因此，AB==•，
同理可得：AC=•
∴Rt△ABC的面積為S=AB•AC=•=
令t=，得S==
∵t=≥2，∴S_△ABC≤=
當(dāng)且僅當(dāng)，即t=時(shí)，△ABC的面積S有最大值為=
解之得a=3或a=
∵a=時(shí)，t=＜2不符合題意，
∴a=3
故答案為：3
點(diǎn)評(píng)：本題在橢圓上求內(nèi)接直角三角形面積的最大值問(wèn)題，著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和利用基本不等式討論函數(shù)的最值等知識(shí)，屬于中檔題．