Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是R，對(duì)于任意的x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
（4）若f（cos²θ+2sinθ）+f（-2m-2）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）取x=y=0即可求得f（0）的值；
（2）令y=-x，易得f（x）+f（-x）=0，從而可判斷其奇偶性；
（3）設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，作差f（x₂）-f（x₁）后判斷其符號(hào)即可證得f（x）為R上的增函數(shù)；
（4）依題意，可得m≤

1

2

cos²θ+sinθ-1恒成立，構(gòu)造函數(shù)y=

1

2

cos²θ+sinθ-1=-

1

2

（sinθ-1）²，可求得其最小值，從而可得m的取值范圍．

解答：解：（1）取x=y=0得，f（0）=0；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，理由如下：已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，
取y=-x代入，得f（0）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，于是f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；                        
（3）證明：設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0知，f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．             
（4）由f（cos²θ+2sinθ）+f（-2m-2）≥0恒成立，f（x）為奇函數(shù)，
得：f（cos²θ+2sinθ）≥f（2m+2）恒成立，又函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，
∴cos²θ+2sinθ≥2m+2恒成立，
即m≤

1

2

cos²θ+sinθ-1恒成立，
設(shè)y=

1

2

cos²θ+sinθ-1=-

1

2

sin²θ+sinθ-

1

2

=-

1

2

（sinθ-1）²，
令t=sinθ，則t∈[-1，1]，
∴由y=-

1

2

（sinθ-1）²知t=-1時(shí)，y_min=-2，
則m≤-2，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)單調(diào)性的判定與函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算求解能力，屬于難題．