Question

（本小題滿分13分）已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P是橢圓C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且APB面積的最大值為2．

（1）求橢圓C的方程及離心率；

（2）直線AP與橢圓在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

（1）橢圓的方程為，離心率為；（2）以為直徑的圓與直線相切．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求其線段中點(diǎn)，寫出圓的方程，利用圓心到直線的距離公式進(jìn)行證明．

試題解析：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，．

由題意知

解得，． 3分

故橢圓的方程為，離心率為． 5分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為．

則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為． 6分

由得． 7分

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

所以，． 9分

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

直線軸，此時(shí)以為直徑的圓與直線相切． 10分

當(dāng)時(shí)，則直線的斜率．

所以直線的方程為．

點(diǎn)到直線的距離．

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015072306003468399981/SYS201507230600410904837115_DA/SYS201507230600410904837115_DA.045.png"> ，所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓與直線相切．

考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．直線橢圓的位置關(guān)系；3．直線與圓的位置關(guān)系．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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