【題目】在數(shù)列與中,,,數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,.
(1)求,,,的值,猜測的通項(xiàng)公式,并證明之.
(2)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),.證明:.
【答案】(1),,,;猜測:,證明見解析(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)帶值計(jì)算并作猜想,利用迭乘法或數(shù)學(xué)歸納法,可得結(jié)果.
(2)根據(jù)(1)的條件,利用與的關(guān)系,可得,根據(jù)與的關(guān)系,可得結(jié)果.
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,計(jì)算出,進(jìn)一步得出,與2比較,可得結(jié)果.
(1)由題知:
,,,
猜測:
【法一】
∵∴
∴
,
即
【法二】
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
當(dāng)時(shí),,等式成立.
假設(shè)時(shí)等式成立,
即,
當(dāng)時(shí),
∵∴
∴
(2)
由(1)知:,
∴
即
則
當(dāng)時(shí),也成立,
∴
∴
即
(3)
證明:當(dāng),時(shí),
.
注意到
,
故
.
當(dāng),時(shí),
即
當(dāng),時(shí),
即
當(dāng),時(shí),
即
∴,.
從而時(shí),
有,
綜上,當(dāng)時(shí)有,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年10月中上旬是小麥的最佳種植時(shí)間,但小麥的發(fā)芽會(huì)受到土壤、氣候等多方面因素的影響.某科技小組為了解晝夜溫差的大小與小麥發(fā)芽的多少之間的關(guān)系,在不同的溫差下統(tǒng)計(jì)了100顆小麥種子的發(fā)芽數(shù),得到了如下數(shù)據(jù):
溫差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
發(fā)芽數(shù)(顆) | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)請根據(jù)統(tǒng)計(jì)的最后三組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若由(1)中的線性回歸方程得到的估計(jì)值與前兩組數(shù)據(jù)的實(shí)際值誤差均不超過兩顆,則認(rèn)為線性回歸方程是可靠的,試判斷(1)中得到的線性回歸方程是否可靠;
(3)若100顆小麥種子的發(fā)芽率為顆,則記為的發(fā)芽率,當(dāng)發(fā)芽率為時(shí),平均每畝地的收益為元,某農(nóng)場有土地10萬畝,小麥種植期間晝夜溫差大約為,根據(jù)(1)中得到的線性回歸方程估計(jì)該農(nóng)場種植小麥所獲得的收益.
附:在線性回歸方程中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著電子商務(wù)的發(fā)展, 人們的購物習(xí)慣正在改變, 基本上所有的需求都可以通過網(wǎng)絡(luò)購物解決. 小韓是位網(wǎng)購達(dá)人, 每次購買商品成功后都會(huì)對(duì)電商的商品和服務(wù)進(jìn)行評(píng)價(jià). 現(xiàn)對(duì)其近年的200次成功交易進(jìn)行評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì), 統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.
對(duì)服務(wù)好評(píng) | 對(duì)服務(wù)不滿意 | 合計(jì) | |
對(duì)商品好評(píng) | 80 | 40 | 120 |
對(duì)商品不滿意 | 70 | 10 | 80 |
合計(jì) | 150 | 50 | 200 |
(1) 是否有的把握認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)? 請說明理由;
(2) 若針對(duì)商品的好評(píng)率, 采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易, 并從中選擇兩次交易進(jìn)行觀察, 求只有一次好評(píng)的概率.
(,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD,現(xiàn)計(jì)劃在AC和BD路邊各修建一個(gè)物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF,設(shè)
Ⅰ為減少對(duì)周邊區(qū)域的影響,試確定E,F的位置,使與的面積之和最;
Ⅱ為節(jié)省建設(shè)成本,求使的值最小時(shí)AE和BF的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱各條棱的長度均相等,為的中點(diǎn),分別是線段和線段的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不正確的是
A. 在內(nèi)總存在與平面平行的線段
B. 平面平面
C. 三棱錐的體積為定值
D. 可能為直角三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求和的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等腰三角形ABC腰長為3,底邊BC長為4,將它沿高AD翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為2,此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查一款電視機(jī)的使用時(shí)間,研究人員對(duì)該款電視機(jī)進(jìn)行了相應(yīng)的測試,將得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示:
并對(duì)不同年齡層的市民對(duì)這款電視機(jī)的購買意愿作出調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),試估計(jì)該款電視機(jī)的平均使用時(shí)間;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“愿意購買該款電視機(jī)”與“市民的年齡”有關(guān);
(3)若按照電視機(jī)的使用時(shí)間進(jìn)行分層抽樣,從使用時(shí)間在[0,4)和[4,20]的電視機(jī)中抽取5臺(tái),再從這5臺(tái)中隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行配件檢測,求被抽取的2臺(tái)電視機(jī)的使用時(shí)間都在[4,20]內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a是實(shí)常數(shù),函數(shù).
(1)若曲線在處的切線過點(diǎn)A(0,﹣2),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)(),
①求證:;
②求證:.
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