在△ABC中，滿足：
AB
⊥
AC
，M是BC的中點．
（I）若|
AB
|=|
.
AC
|，求向量
AB
+2
AC
．與向量2
.
AB
+
A
•
C
的夾角的余弦值；
（II）若O是線段AM上任意一點，且|
.
AB
|=|
AC
|=
2
，求
.
OA
•
O
•
B
+
OC
•
OA
的最小值；
（3）若點P是∠BAC內一點，且|
.
AP
|=2，
AP
•
AC
=2，
AP
•
AB
=1，求|
AB
+
AC
+
AP
|的最小值．
分析：（I）利用向量的數(shù)量積公式得到cosθ=
(
AB
+2
AC
)•(2
AB
+
AC
)
|
AB
+2
AC
|•|2
AB
+
AC
|
，利用向量的數(shù)量積公式展開，求出向量
AB
+2
AC
．與向量2
.
AB
+
A
•
C
的夾角的余弦值；
（II）通過解三角形求出AM的長，設|
OA
|=x，則|
OM
|=1-x，利用向量的平行四邊形法則得到而
OB
+
OC
=2
OM

，利用向量的數(shù)量積公式將
.
OA
•
O
•
B
+
OC
•
OA
表示成關于x的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值求出最小值．
（III）設∠CAP=α，將已知條件利用向量的數(shù)量積公式表示成關于α的三角函數(shù)，將|
AB
+
AC
+
AP
|平方轉化為關于α的三角函數(shù)，然后利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（I）設向量
AB
+2
AC
．與向量2
.
AB
+
AC
的夾角為θ
∴cosθ=
(
AB
+2
AC
)•(2
AB
+
AC
)
|
AB
+2
AC
|•|2
AB
+
AC
|
，
令|
AB
|=|
.
AC
|=a
∴cosθ=
2a2+2a2
5
a
5
a
=
4
5

（II）∵|
AB
|=|
.
AC
|=
2
，
∴|
AM
|=1
設|
OA
|=x，則|
OM
|=1-x，
而
OB
+
OC
=2
OM

∴
OA
•
OB
+
OC
•
OA
=
OA
•(
OB
+
OC
)=2
OA
•
OM
=2|
OA
||
OM
|cosπ
=-2x（1-x）=2x2-2x=2(x-
1
2
)2-
1
2

當且僅當x=
1
2
時，
OA
•
OB
+
OC
•
OA
的最小值是-
1
2

（III）設∠CAP=α⇒∠BAP=
π
2
-α
∵
AP
•
AC
=2，
AP
•
AB
=1，|
AP
|=2
∴2•|
AC
|cosα=2⇒|
AC
|=
1
cosα
，2•|
AB
|cos(
π
2
-α)=1⇒|
AB
|=
1
2sinα

∴|
AB
+
AC
+
AP
|2=
AB
2+
AC
2+
AP
2+2
AB
•
AC
+2
AC
•
AP
+2
AB
•
AP
=
1
cos2α
+
1
4sin2α
+4+2+4=
sin2α+cos2α
cos2α
+
sin2α+cos2α
4sin2α
+10
=
sin2α
cos2α
+
cos2α
4sin2α
+
45
4
≥2
sin2αcos2α
cos2α4sin2α
+
45
4
=1+
45
4
=
49
4

當且僅當
sin2α
cos2α
=
cos2α
4sin2α
⇒tanα=
2
2
時，|
AB
+.
AC
+
AP
|m
•
m
=
7
2
點評：解決向量的夾角問題，一般利用的是向量的數(shù)量積公式．是一道綜合題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足tan
A-B
2
=
a-b
a+b
．
（1）試判斷△ABC的形狀；
（2）當a=10，c=10時，求tan
A
2
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足tanA•tanB＞1，則這個三角形是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圓半徑為
2
．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面積S的最大值，并判斷此時的三角形形狀．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足：
AB
⊥
AC
，M是BC的中點．
（1）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
與向量2
AB
+
AC
的夾角的余弦值；
（2）若點P是BC邊上一點，|
AP
|=2，且
AP
•
AC
=2
AP
•
AB
=2，求|
AB
+
AC
+
AP
|的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足
AB
與
AC
的夾角為60°，M是AB的中點，
（1）若|
AB
|=|
AC
|，求向量
AB
+2
AC
與
AB
的夾角的余弦值；．
（2）若|
AB
|=2，|
BC
|=2
3
，點D在邊AC上，且
AD
=λ
AC
，如果
MD
•
AC
=0，求λ的值．

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