【答案】
分析:①由題意得到f(x)的解析式,求出f′(x)因為在x=1處有極值得到f(1)=-
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,f′(1)=0求出b、c即可;(2)因為切線的斜率為c,則解出f′(t)=c時t的值得到切點坐標(biāo),寫出切線方程與曲線解析式聯(lián)立求出公共點可知公共點的個數(shù);(3)根據(jù)題意得到g(x)的解析式,利用已知求出g(x)的最大值M,利用M≥k列出不等式求出k的取值范圍即可.
解答:解:①依題意
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,
解
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得
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或
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.
若
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,
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,
′(x)=-x
2+2x-1=-(x-1)
2≤0f(x)在R上單調(diào)遞減,
在x=1處無極值;若
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,
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,
f′(x)=-x
2-2x+3=-(x-1)(x+3),直接討論知,
f(x)在x=1處有極大值,所以
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為所求.
②解f′(t)=c得t=0或t=2b,切點分別為(0,bc)、
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,
相應(yīng)的切線為y=cx+bc或
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.
解
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得x=0或x=3b;
解
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即x
3-3bx
2+4b
3=0
得x=-b或x=2b.
綜合可知,b=0時,斜率為c的切線只有一條,與曲線的公共點只有(0,0),b≠0時,
斜率為c的切線有兩條,與曲線的公共點分別為(0,bc)、(3b,4bc)和
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、
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.
③g(x)=|-(x-b)
2+b
2+c|.若|b|>1,則f′(x)在[-1,1]是單調(diào)函數(shù),
M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|}={|-1+2b+c|,|-1-2b+c|},
因為f′(1)與f′(-1)之差的絕對值|f′(1)-f′(-1)|=|4b|>4,所以M>2.
若|b|≤1,f′(x)在x=b∈[-1,1]取極值,
則M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|,|f′(b)|},f′(b)-f′(±1)=(b?1)
2.
若-1≤b<0,f′(1)≤f′(-1)≤f′(b
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;
若0≤b≤1,f′(-1)≤f′(1)≤f′(b),
M=max{|f′(-1)|,|f′(b)|}
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=
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.
當(dāng)b=0,
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時,
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在[-1,1]上的最大值
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.
所以,k的取值范圍是
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.
點評:考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力,會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上某一點的切線方程的能力.