Question

如圖，一個半圓和長方形組成的鐵皮，長方形的邊AD為半圓的直徑，O為半圓的圓心，AB=1，BC=2，現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形PMN，其底邊MN⊥BC．
（1）設∠MOD=30°，求三角形鐵皮PMN的面積；
（2）求剪下的鐵皮三角形PMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設MN交AD交于Q點由∠MOD=30°，利用銳角三角函數(shù)可求MQ，OQ，進而可求MN，AQ，代入S_△PMN=

1

2

MN•AQ可求
（2）設∠MOQ=θ，由θ∈[0，

π

2

]，結合銳角三角函數(shù)的定義可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代入三角形的面積公式S_△PMN=

1

2

MN•AQ=

1

2

（1+sinθ）（1+cosθ）展開利用換元法，轉化為二次函數(shù)的最值求解

解答：解：（1）設MN交AD交于Q點
∵∠MOD=30°，
∴MQ=

1

2

，OQ=

3

2

（算出一個得2分）
S_△PMN=

1

2

MN•AQ=

1

2

×

3

2

×（1+

3

2

）=

6+3 3

8

…（6分）
（2）設∠MOQ=θ，∴θ∈[0，

π

2

]，MQ=sinθ，OQ=cosθ
∴S_△PMN=

1

2

MN•AQ=

1

2

（1+sinθ）（1+cosθ）
=

1

2

（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）
令sinθ+cosθ=t∈[1，

2

]，
∴S_△PMN=

1

2

（t+1+

t2-1

2

）
θ=

π

4

，當t=

2

，
∴S_△PMN的最大值為

3+2 2

4

．…..…（14分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應用及利用三角函數(shù)求解函數(shù)的最值，換元法的應用是求解的關鍵